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彩票计划的数学模子__数学修模寰宇赛杰出论文

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  彩票方案的数学模型摘要:本文建立了关于彩票方案的数学模型分析种彩票发行方案的合理性并以设定的评价函数为标准设计了一种更好的方案。本文给出“传统型”和“乐透型”彩票各奖项中奖概率计算通式并计算了各方案每种奖项奖额的期望。考虑一、二、三等奖的金额、中一等奖的概率、中二、三等奖的总概率、中四至七等奖的总概率六个方面根据线性加权和法构造评价函数分析各方案对彩民的吸引力得出第、、三种方案对彩民的吸引力较大。综合分析了各方案的合理性得出结论:“乐透型”彩票优于“传统型”彩票以方案为基础限定取值范围搜索最优值改进其各奖项奖额给出了一种更好的方案。最后分别给彩票管理部门和彩民提出建议。彩票方案的数学模型问题重述近年来“彩票飓风”席卷中华大地巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“选”方案:先从组~号球中摇出个基本号码每组摇出一个然后从~号球中摇出一个特别号码构成中奖号码。投注者从~十个号码中任选个基本号码(可重复)从~中选一个特别号码构成一注根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdefg”为例说明中奖等级如表(X表示未选中的号码)。表“传统型”彩票中奖等级及说明中奖等级选()基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选中()二等奖abcdef选中()三等奖abcdeXXbcdef选中()四等奖abcdXXXbcdeXXxcdef选中()五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选中()六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选中()“乐透型”有多种不同的形式比如“选”的方案:先从~个号码球中一个一个地摇出个基本号再从剩余的个号码球中摇出一个特别号码。投注者从~个号码中任选个组成一注(不可重复)根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级不考虑号码顺序。又如“选”的方案先从~个号码球中一个一个地摇出个基本号再从剩下的个号码球中摇出一个特别号码。从~个号码中任选个组成一注(不可重复)根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表。表两种“乐透型”彩票中奖等级及说明中奖等级选()选()基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选中()●●●●●●★选中()二等奖●●●●●●○★选中()●●●●●●选中()三等奖●●●●●●○选中()●●●●●○★选中()四等奖●●●●●○○★选中()●●●●●○选中()五等奖●●●●●○○选中()●●●●○○★选中()六等奖●●●●○○○★选中()●●●●○○选中()七等奖●●●●○○○选中()●●●○○○★选中()注:●为选中的基本号码★为选中的特别号码○为未选中的号码。以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的投注者单注金额为元单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案(见附件二)其中一、二、三等奖为高项奖后面的为低项奖。低项奖数额固定高项奖按比例分配但一等奖单注保底金额万元封顶金额万元请考虑如下问题:⑴根据这些方案的具体情况综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。⑵设计一种“更好”的方案及相应的算法并据此给彩票管理部门提出建议。⑶给报纸写一篇短文供彩民参考。基本假设⑴摇出中奖号码是完全随机的⑵单注金额元总销售额的用作奖金⑶设立奖池从长远看奖金完全返还彩民⑷单注若已得到高级别奖就不再兼得低级别奖⑸有多人同时中高项奖时中奖人平分高项奖奖金⑹一等奖单注保底金额万元封顶金额万元变量说明变量对变量的描述第种方案中第等奖出现的概率。第种方案中第等奖的金额。第种方案中第等高项奖的分配比例。问题分析该问题要求评价种彩票发行方案的合理性并设计一种更好的方案给彩票管理部门提出建议写一篇短文供彩民参考。首先需利用组合数学和概率论的知识分析出各方案中每种奖项出现的概率计算出各方案中高项奖即一、二、三等奖各自金额的数学期望在此基础上我们从一、二、三等奖金额的大小中一等奖的概率中二、三等奖的总概率中四至七等奖的总概率六个方面用线性加权和法针对不同类型的彩民分析各方案的吸引力再综合给出各方案的吸引力排名据此评价各方案的合理性然后以吸引力评价函数为标准以排名靠前的方案为基础改进得出一种更好的方案最后根据上述的分析提出建议供彩民参考。模型的建立及求解奖项出现的概率在摇出中奖号码的过程中各种号码出现的概率是相等的这是一个古典概型的问题。题目所给的种方案中涉及到四种不同类型的彩票中奖规则。采用组合数学和概率论的知识对四种不同类型的彩票中各种奖项出现的概率进行计算结果如下:①传统型“选”:一等奖出现的概率:二等奖出现的概率:三等奖出现的概率:四等奖出现的概率:五等奖出现的概率:六等奖出现的概率:②乐透型“m选n”(有特别号码):一等奖出现的概率:二等奖出现的概率:三等奖出现的概率:四等奖出现的概率:五等奖出现的概率:六等奖出现的概率:七等奖出现的概率:③乐透型“m选n”(无特别号码):一等奖出现的概率:二等奖出现的概率:三等奖出现的概率:四等奖出现的概率:五等奖出现的概率:因在种方案中只有第种方案(选)为此种类型且其奖项只设到五等奖所以我们计算各奖项出现的概率时只计算到五等奖。④乐透型“m选n”(有特别号码):一等奖出现的概率:二等奖出现的概率:三等奖出现的概率:四等奖出现的概率:五等奖出现的概率:六等奖出现的概率:七等奖出现的概率:种方案中的每种方案依据各自对应的类型计算出各奖项出现的概率见附件三。各方案中的高项奖额的期望销售了n注彩票高项奖额的期望:EMBEDEquationDSMT,()特别的第种方案二等奖到五等奖的金额都固定一等奖的奖金额期望:EMBEDEquationDSMT其中是第种方案中第等奖()出现的概率是第种方案中第等奖的金额其中低项奖金额()为固定值高项奖金额()按比例分配第种方案中第等高项奖的分配比例是。所有方案高项奖的奖金额期望及低项奖的固定奖金额设置情况见附件四。各方案对彩民的吸引力分析对彩民心理的分析:⑴购买彩票的人都渴望获得一等奖因此一等奖的中奖金额和概率无疑具有很大的诱惑⑵获得二、三等奖的收入也是很可观的且其概率比获一等奖的概率大彩民也会予以一定的关注⑶若某方案中低项奖的概率比较大虽中奖金额不大但彩民常感受到获奖的乐趣也会提高购买彩票的热情。综合上述的分析从一、二、三等奖的金额获一等奖的概率获二、三等奖的概率获低项奖的概率六个方面利用线性加权和法构造评价函数分析各方案对彩民的吸引力。由于上述指标的数量级别相差很大为便于计算采取(各方案中的该项指标值种方案中该项指标最大值)的方法将各指标值标准化为区间上的数据。评价函数:EMBEDEquationDSMT其中EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT对不同的彩民上述评价函数中的权系数不同因此可根据不同类型的彩民心理确定不同的权系数分析每种方案对不同彩民的吸引力。依据资料及常识按彩民心理把彩民分为三类:第一类:追求一等奖的彩民特别关注一等奖的中奖金额和概率。第二类:只要中奖就能接受的彩民主要关注中奖的概率。第三类:追求一等奖同时也能接受低项奖的彩民。对第一类彩民确定权系数的原则:对第二类彩民确定权系数的原则:对第三类彩民确定权系数的原则:假定大于倍即可满足远大于对三类彩民权系数确定如下:第一类彩民:第二类彩民:第三类彩民:第种方案较为特殊其二等奖至五等奖的奖额都固定且其二、三等奖的奖额远低于其它方案其高项奖实质上只有一等奖。所以我们对第种方案做如下处理:其原来的二、三、四、五等奖的奖额和概率分别改为四、五、六、七等奖的奖额和概率让其二、三等奖空缺在此基础上再与其它方案比较。利用前面已计算出的各方案中每种奖项的金额和概率及针对不同的彩民定出的权系数得到各方案对不同类型的彩民的吸引力排名(从大到小)如下:对第一类彩民的吸引力排名:对第二类彩民的吸引力排名:对第三类彩民的吸引力排名:。在此基础上考虑综合各方案对彩民吸引力的排名。因第三类彩民综合了前两类彩民的意见其人数应多于前两类彩民的人数故将三类彩民的人数之比定为:按此比例对分别针对三类彩民的评价函数加权确定出综合评价各方案对彩民吸引力的函数:以此评价函数为标准确定出的各方案对彩民的吸引力排名(从大到小)如下:前五名方案的函数值分别为:。由此排名可见:排名靠前的“乐透型”彩票明显多于“传统型”彩票。对各方案合理性的分析从上述排名中取出前名方案进行分析比较各方案中每种奖项出现概率的大小:前种方案的各奖项中奖概率见表:表前种方案的各奖项中奖概率方案各方案的指标值一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖种方案各奖项的奖额见表:表种方案各奖项的奖额(单位:元)方案一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖利用上面两表中的数据分析种方案的特点:方案:一等奖奖额高尾奖奖额低二、三等奖实质上空缺但尾奖的中奖概率很大方案:高项奖的奖额和中奖概率大但一等奖奖额低中尾奖的概率小方案:各奖项的中奖概率都较大一等奖奖额低方案:各奖项的中奖概率居中一等奖的奖额居中但二、三等奖的奖额高方案:各奖项的中奖概率都较小且一等奖奖额的期望已超过封顶金额(万元)但奖额高且奖项多通过上述分析我们可得出结论:各方案当其中奖概率较大时其中奖金额的期望值较小即中奖概率和金额只居其一。因此各方案都是相对公平的其区别在于对彩民的吸引力大小不同。设计一种“更好”的方案要设计一种“更好”的方案以同样的评价函数:为标准所谓“更好”的方案即其函数值大于(种方案的函数值的最大值)的方案。考虑分别对吸引力排名靠前的第种和第种方案进行改进:对第种方案的改进:第种方案的不足之处在于一等奖奖额的期望元过小容易出现保底且总中奖概率为过小因此增设七等奖使得总的中奖率增加到。定四、五、六、七等奖的奖额分别为元、元、元和元再调整高额奖的比例:一等奖的比例应大于原值因中四等奖的概率是三等奖的倍规定三等奖的金额不少于元其比例不小于又因中三等奖的概率为二等奖的倍规定二等奖的金额不少于元其比例不小于。在上述分析的基础上利用程序(源程序见附件四)循环搜索出使评价函数值最大的分配比例值算法如下:算法。max=种方案中最大函数值转。=,=转。=判断是否大于如果转否则=转。=判断a是否大于如果是转否则转。=求出等奖的金额及评价函数值转。判断此方式的评价函数值是否大于max如果是转否则转。max=此时的评价函数值记录下,,。转。停止其中一等奖的比例:二等奖的比例:三等奖的比例:对第种方案的改进结果见表:表第种方案改进后各奖项奖额一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额按此新方案计算出的评价函数值为该值大于。对第种方案的改进:第种方案的主要不足之处在于二、三等奖与一等奖奖额悬殊太大。二等奖的奖额应大于原值元规定其比例不小于。同样利用搜索得出的新方案各项奖额见表:表第种方案改进后各奖项奖额一等奖比例二等奖比例三等奖金额四等奖金额五等奖金额按此新方案计算出的评价函数值为该值小于前一方案的因此我们选择第种方案的改进方案(选)作为向彩票管理部门建议的更好的方案。给彩票管理部门的建议:⑴“乐透型”的彩票优于“传统型”的彩票加特别号码的方案优于不加特别号码的方案⑵因中高项奖的概率很小能中高项奖的彩民是极其个别的若彩民屡购彩票屡不中必定会挫伤其积极性。从长远来看为保证彩民的热情不减应增大中奖概率适当降低高等奖的金额可采取底数更低的彩票发行方案比如“选”⑶一定要保证奖金完全返回给彩民。若某次开奖出现一等奖封顶或高额奖空缺未能发放的奖金应滚入设立的奖池作为下次开奖的奖金当出现保底情况时也可从奖池中拿出奖金确保彩民的利益。模型评价及改进意见模型评价:⑴本模型给出评价函数对种方案对彩民的吸引力排名简单、直观。⑵评价函数中考虑的因素较为全面利用评价函数确定的各方案的排名符合现实中彩票发行方案的发展方向。⑶以吸引力排名靠前的方案为基础改进得出的新方案较为可靠。改进意见:向彩票管理部门提出建议可采取底数更低的彩票发行方案比如“选”但未对其可行性进行论证可进一步具体设定其各奖项金额的分配比例和金额论证其可行性。附件清单⑴给彩民的短文⑵种彩票销售规则及相应的奖金设置方案⑶各方案奖项出现的概率⑷各方案奖项奖金额⑸搜索新方案高项奖奖额分配比例的源程序参考文献:徐利治,蒋茂深,朱自强计算组合数学上海:上海科学出版社,钱颂迪等运筹学北京:清华大学出版社,附件附件一给彩民的短文小议彩票近年来各种彩票在全国各地发售高额大奖的诱惑使越来越多的人购买彩票加入到彩民的队伍中整个彩票市场异常火爆。作为一个理性的彩民我们应该对彩票有正确的认识。彩票的种类很多现在常见的是传统数字型和乐透型。这两种彩票中奖号码的产生是完全随机的买任何号码中奖的概率都是相等的这是设计彩票发行方案必须遵循的最基本的原则。如果中奖号码真如时下一些所谓的“专家”或软件所说的可以预测那么他们也没必要靠出书、卖软件来赚几个小钱直接买彩票中大奖得了。当然理论与现实会有一定的差距但是通过种种规范措施我们可以使现实的开奖尽可能保证在机会面前人人平等。买彩票中大奖的概率虽然很小但又确实存在这就带给彩民无限的憧憬。未来的不确定性对彩民是一种期待一种刺激。如果成为那个幸运儿自然惊喜万分与大奖错过生出小小的遗憾留待以后弥补。买彩带给彩民的悲喜在一定程度上丰富人们的业余生活这和它的游戏性质是吻合的。目前彩票发行部门推出了多种彩票方案。传统数字型规则简单乐透型变化丰富。彩民不能选择能否中奖但却可以选择不同的彩票玩法。有人对大奖金额高的玩法情有独钟传统数字型和大盘乐透型(如选)对他们的口味。有人对奖项设置多中奖机会大的玩法乐此不疲这些彩民可以投资小盘的乐透型(如选)。这充分体现了买彩票是一种自愿的活动是彩民的个人喜好。理智的彩民不该抱着赌博的心态孤注一掷投入极大的资金而应量力而出以平常、健康、重在参与的心态买彩。附件二种彩票销售规则及相应的奖金设置方案序号奖项方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注按序按序按序按序无特别号附件三各方案奖项出现的概率表附件四各方案奖项奖金额表附件五搜索新方案高项奖奖额分配比例的源程序(该程序在Matlab环境下运行)loadtemp载入概率矩阵i=max=原来种方案中的最大吸引力函数值max=emax=emax=e以上三式原来种方案中一二三等奖的最大金额maxp=e原来种方案中一等奖最大概率maxp=原来种方案种二三等奖的最大概率和maxp=原来种方案中四五六七等奖最大概率和b=*p(i,)*p(i,)*p(i,)*p(i,)一二三等奖的奖金额占全部奖金额的比例pi=e此方案的一等奖概率pi=此方案的二三等奖概率和pi=此方案的四五六七等奖概率和fora=::一等奖金额比例a循环fora=::a二等奖金额比例a循环a=aa三等奖金额比例b=b*ap(,)b=b*ap(,)b=b*ap(,)以上式计算此方案在当前比例下的一二三等奖金额g=*bmax*bmax*bmax*pimaxp*pimaxp*pimaxp计算我们设定的合理函数if(gmax)max=ga=aaa记录最大评价函数值和此时的一二三等奖之间的比例endendendunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownxlsSheet一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖xlsSheet方案一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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本站文章于2019-10-28 21:08,互联网采集,如有侵权请发邮件联系我们,我们在第一时间删除。 转载请注明:彩票计划的数学模子__数学修模寰宇赛杰出论文
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